Temas de guia para la unidad 1.- Estimación

1.1 Tipos de Estimaciones y sus Características

Como sacar la desbiacion estandar (S) o alfa.

Tipos de Estimaciones

1. Estimación Puntual: Se refiere a un solo valor estimado basado en datos muestrales para representar un parámetro poblacional. Por ejemplo, la media muestral ($\bar{x}$) como una estimación puntual de la media poblacional ($\mu$).

2. Estimación por Intervalo: Se trata de un rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro poblacional con un cierto nivel de confianza. Por ejemplo, un intervalo de confianza para la media poblacional.

Fórmulas Comunes

• Media muestral ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
  
  • $n$: Número de observaciones en la muestra.
  • $x_i$: Observación individual en la muestra.

Ejercicio 1: Estimación Puntual de la Media

En una parcela de trigo, se seleccionan al azar 10 plantas y se mide su altura en centímetros: 85, 90, 88, 92, 89, 87, 91, 86, 93, 88. Calcula la media muestral.

Solución:

1.2 Teorema del Límite Central (TLC)
Explicación del TLC

El Teorema del Límite Central establece que, para un tamaño de muestra suficientemente grande, la distribución de la media muestral de una variable aleatoria será aproximadamente normal, independientemente de la distribución original de la población.

Te dejo un enlace a continuacion para que quede mas clara en que consiste el teorema del limite central.

Fórmula del Teorema del Límite Central

• $\mu$: Media poblacional.
• $\sigma$: Desviación estándar de la población.
• $n$: Tamaño de la muestra.

Ejercicio 2: Aplicación del TLC

Supón que la altura de las plantas de maíz en un campo sigue una distribución desconocida con $\mu = 150 \text{ cm}$ y $\sigma = 20 \text{ cm}$. Si se toma una muestra de 25 plantas, ¿cuál es la distribución aproximada de la media muestral?

1.3 Intervalos de Confianza para la Media

1.3.1 Con Distribución Normal

Fórmula del Intervalo de Confianza para la Media con Distribución Normal

Donde:

• $\bar{x}$: Media muestral.
• $Z_{\alpha/2}$​: Valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza $(1 - \alpha)$.
• $\sigma$: Desviación estándar de la población.
• $n$: Tamaño de la muestra.

Enlace de como utilizar la tabla de distibucion normal (Z alfa medios).

Enlace para entender mejor la aplicacion de los calculos de distribucion normal.

1.3.2 Con Distribución "t" de Student 

Fórmula del Intervalo de Confianza para la Media con Distribución "t"

Donde:

• $t_{\alpha/2, \, n-1}$: Valor crítico de la distribución "t" de Student con $n-1$ grados de libertad.
• $$s: Desviación estándar muestral.

ejemplo:

Ejercicio 3: Intervalo de Confianza con Distribución Normal

En una investigación sobre el rendimiento de las plantas de tomate, se encontró que la media muestral es de 2.5 kg/planta con una desviación estándar poblacional conocida de 0.5 kg. Si se selecciona una muestra de 36 plantas, calcula el intervalo de confianza al 95%.

1.3.1 Determinación del Tamaño de Muestra con Grado de Confianza y Estimación de μ

Fórmula para el Tamaño de Muestra

$$n={\left(\frac{Z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \sigma }{E}\right)}^2$$

Donde:

• $E$: Margen de error permitido.

Ejercicio 4: Determinación del Tamaño de Muestra

Para estimar la altura media de las plantas de soya con un margen de error de 1 cm y un nivel de confianza del 95%, y con una desviación estándar conocida de 4 cm, determina el tamaño mínimo de la muestra.

Solución:

1.4 Estimación de Proporciones para una Muestra Única

Fórmula del Intervalo de Confianza para una Proporción

Ejercicio 5: Estimación de una Proporción

En una muestra de 200 plantas de maíz, 160 fueron resistentes a una plaga. Calcula el intervalo de confianza al 95% para la proporción de plantas resistentes.

Solución: NOTA: recuerda que P=n/N donde es la muestra tomada de (N), y (N) es el total global de la muestra.

1.5 Intervalo de Confianza para la Diferencia de Dos Proporciones

Fórmula del Intervalo de Confianza para la Diferencia de Proporciones

Donde:

• $\hat{p}_1$​ y $\hat{p}_2$​: Proporciones muestrales de dos grupos diferentes.
• $n_1$​ y $n_2$: Tamaños de las muestras de los dos grupos.

Ejercicio 6: Comparación de Proporciones

En dos campos diferentes, 150 de 200 plantas y 120 de 180 plantas fueron resistentes a una enfermedad. Calcula el intervalo de confianza al 95% para la diferencia en las proporciones.

Solución:

1.6 Intervalos de Confianza para la Relación de Dos Varianzas

Fórmula del Intervalo de Confianza para la Relación de Varianzas

Utilizacion de las tablas de F:

Donde:

• $s_1^2$ y $s_2^2$​: Varianzas muestrales de los dos grupos.
• $F_{\alpha/2, \, n_1-1, \, n_2-1}$​: Valor crítico de la distribución F.

Ejercicio 7: Intervalo de Confianza para la Relación de Varianzas

En un experimento, se midieron dos varianzas de rendimiento en parcelas agrícolas: $s_1^2 = 10$ y $s_2^2 = 8$ con tamaños de muestra de 15 y 12, respectivamente. Calcula el intervalo de confianza al 95% para la relación de varianzas.

Solución: Primero, se buscan los valores críticos de la distribución F con 14 y 11 grados de libertad.