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La integral definida tiene una serie de propiedades fundamentales que son útiles en cálculos y demostraciones. Estas propiedades ayudan a simplificar el trabajo con integrales y a comprender mejor sus características. A continuación, se describen las principales propiedades de la integral definida:

1. Propiedad de Linealidad

• Escalamiento por una constante:

  $$\int_{a}^{b} c \cdot f(x)\, dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\, dx$$∫ab​c⋅f(x)dx=c⋅∫ab​f(x)dx

  Esto significa que una constante multiplicativa puede salir fuera de la integral.

• Suma de funciones:

  $$\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]\, dx = \int_{a}^{b} f(x)\, dx + \int_{a}^{b} g(x)\, dx$$∫ab​[f(x)+g(x)]dx=∫ab​f(x)dx+∫ab​g(x)dx

  La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de cada función.

2. Propiedad de Aditividad en el Intervalo

Si $a < c < b$a<c<b, entonces se puede dividir el intervalo de integración en dos partes:

Esta propiedad permite descomponer una integral en partes más pequeñas.

3. Propiedad de Simetría

Si la función $f(x)$f(x) es par (es decir, $f(-x) = f(x)$f(−x)=f(x)), entonces:

Esta propiedad refleja que la integral de una función par en un intervalo simétrico alrededor del origen se puede calcular como el doble de la integral sobre la mitad positiva del intervalo.

Si la función $f(x)$f(x) es impar (es decir, $f(-x) = -f(x)$f(−x)=−f(x)), entonces:

La integral de una función impar en un intervalo simétrico alrededor del origen es cero, ya que las áreas positivas y negativas se cancelan.

4. Propiedad del Orden de los Límites

Cambiar el orden de los límites de integración cambia el signo de la integral:

Esto refleja que intercambiar los límites de la integral es equivalente a multiplicar por $-1$−1.

5. Propiedad del Valor Cero

Si los límites superior e inferior son iguales, la integral es cero:

Esto es intuitivo, ya que no hay área bajo la curva cuando no hay un intervalo de integración.

6. Propiedad de Acotación (Desigualdad de la Integral)

Si $f(x) \geq g(x)$f(x)≥g(x) para todo $x$x en $[a, b]$[a,b], entonces:

Esta propiedad asegura que, si una función está por encima de otra en todo el intervalo, su integral también será mayor o igual.

Además, si $m \leq f(x) \leq M$m≤f(x)≤M para todo $x$x en $[a, b]$[a,b], entonces:

Esto nos da una manera de acotar el valor de la integral cuando conocemos los valores mínimo $m$m y máximo $M$M de la función en el intervalo.

7. Propiedad de Adición y Sustracción de Funciones

Si $f(x) \geq 0$f(x)≥0 en todo el intervalo $[a, b]$[a,b], entonces la integral será no negativa:

Si $f(x) \geq g(x)$f(x)≥g(x) en todo el intervalo $[a, b]$[a,b], entonces:

Esta propiedad muestra cómo se puede restar integrales de funciones.

8. Propiedad de Dominio de Integración

Si $f(x)$f(x) es una función continua, entonces el valor de la integral definida solo depende de los límites de integración, independientemente de cómo esté definida la función fuera del intervalo $[a, b]$[a,b].