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4. Función primitiva

La función primitiva, también conocida como antiderivada, es una función cuya derivada es igual a una función dada. En otras palabras, si tenemos una función $f(x)$ , la función primitiva es otra función $F(x)$ tal que su derivada es igual a $f(x)$ .

Definición Formal

Sea $f(x)$ una función definida en un intervalo $I$ . Una primitiva de $f(x)$ es una función $F(x)$ tal que:

F'(x) = f(x) \quad \text{para todo } x \in I.

Ejemplo

Consideremos la función $f(x) = 2x$ . Una función primitiva de $f(x)$ es $F(x) = x^2$ , ya que:

\frac{d}{dx} (x^2) = 2x = f(x).

Así que $F(x) = x^2$ es una función primitiva de $f(x) = 2x$ .

Familia de Primitivas

Las primitivas de una función no son únicas. Si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$ , entonces cualquier función de la forma $F(x) + C$ , donde $C$ es una constante arbitraria, también es una primitiva de $f(x)$ . Esto se debe a que la derivada de una constante es cero.

Por lo tanto, la familia de primitivas de $f(x)$ está dada por:

F(x) + C

donde $C$ es una constante.

Ejemplo con Familia de Primitivas

Para la función $f(x) = 2x$ , ya vimos que una primitiva es $F(x) = x^2$ . Sin embargo, también podemos agregar cualquier constante $C$ a esta primitiva, lo que genera una familia de primitivas:

F(x) = x^2 + C

Donde $C$ puede ser cualquier número real.

Notación de la Primitiva

La operación de encontrar una función primitiva de una función $f(x)$ se denota por:

\int f(x)\, dx

Este símbolo representa la integral indefinida de $f(x)$ y el resultado es una función primitiva de $f(x)$ .

Por ejemplo:

\int 2x\, dx = x^2 + C

Aquí, $x^2 + C$ es la familia de primitivas de la función $2x$ .

Relación con el Cálculo Integral

El concepto de primitiva está estrechamente relacionado con la integración. Mientras que la derivada nos dice la pendiente de una función en un punto, la integral (o la primitiva) nos dice cómo recuperar una función a partir de su derivada.

En el contexto del Teorema Fundamental del Cálculo, si $f(x)$ es continua en un intervalo y $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$ , entonces:

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)

Esta es la conexión entre las funciones primitivas y las integrales definidas.

Conclusión

La función primitiva es un concepto clave en el cálculo integral, ya que representa la operación inversa de la derivada. Encontrar primitivas permite calcular integrales indefinidas y resolver problemas relacionados con áreas, acumulación y movimiento en diversos campos de la ciencia y la ingeniería.