2.1 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA

                 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

En la mayor parte de los casos, las funciones no se las puede integrar usando directamente las fórmulas de la Tabla 1. Para estos casos existen técnicas que nos permiten hacer manipulaciones hasta llegar a la aplicación directa de la fórmula. Estas técnicas se las presenta a continuación.

Cambio de variable

En muchas ocasiones, la integración de una función puede ser tremendamente larga, sin embargo un adecuado reemplazo de la variable original por otra, puede simplificar enormemente el trabajo, por ejemplo:

Ejercicio 1  

Si se quiere resolver esta integral aplicando alguna o algunas de las fórmulas de la Tabla 1, habría que resolver el paréntesis multiplicando 10 veces el mismo integral para luego multiplicar ese resultado por 6x. Este es un procedimiento muy largo, lo recomendable es hacer una sustitución. En este caso la sustitución recomendada es hacer

Despejando dx,

Y reemplazando en la integral original se tiene:

Reemplazando u para regresar a la variable original, se tiene que el resultado de la integral es:

El estudiante puede comprobar este resultado como ya se ha sugerido anteriormente. 

Como se puede apreciar, con un apropiado cambio de variable, el proceso de integración puede simplificarse mucho. Veamos estos otros ejercicios.

Ejercicio 2  

En este caso, ya que la fórmula dice senx, habrá que buscar una sustitución apropiada para usar la fórmula (6). La sustitución más conveniente entonces es u=2x.

Se recomienda al estudiante realizar el ejercicio con sen3x, sen4x, cos2x, cos3x y sacar sus conclusiones.

Ejercicio 3  

Con un poco de práctica, el estudiante puede llegar a reconocer casos como éste en donde una función tiene como derivada la otra función, entonces la sustitución recomendada es

Ejercicio 4  

En ocasiones puede ser necesario más de un cambio de variable como se aprecia en el siguiente ejercicio:

Ejercicio 5