Tema 5. Aplicaciones de la derivada

Recta tangente:

Recordemos de la geometría analítica que una vez conocida la pendiente de una recta podemos encontrar su ecuación que pasa por un punto. A ésta se le conoce como ecuación punto pendiente y está dada por:

$$y-y_{1}=m(x-x_{1})$$

donde  representa la pendiente de la línea recta y  un punto por donde pasa. Se puede obtener la pendiente de la línea recta en cualquier punto de una curva con el simple hecho de calcular su derivada.

Así usando la ecuación anterior y la definición geométrica de la derivada podemos definir:

La ecuación de la recta tangente a cualquier curva descrita por una función f(x) en un punto arbitrario (x1, y1) se obtiene mediante la fórmula

$$y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1})$$

Recta normal:

Otra línea recta interesante para conocer, es aquella que resulta perpendicular a la recta tangente, esta ecuación la conocemos como recta normal a la curva y la definimos mediante la fórmula:

$$y-y_{1}=m_{n}(x-x_{1})$$

Como sabemos que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a , podemos definir:

La pendiente de la recta normal () a una curva en un punto dado  es el negativo de la inversa multiplicativa de la pendiente de la recta tangente en dicho punto, es decir

$$m_{n}=-\frac{1}{m_{t}}$$

donde  es la pendiente de la recta tangente.

La definición de la ecuación de la recta normal a cualquier curva descrita por una función  en un punto arbitrario  se obtiene mediante la fórmula:

$$y-y_{1}=-\frac{1}{f'(x_{1})}(x-x_{1})$$

Se muestra un ejemplo en el siguiente video:

Se muestra un ejemplo del tema: