Tema 3. Límites y continuidad

En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. 

En cálculo, este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Formalmente tenemos la siguiente definición para límites.

Una sucesión  tiene límite , si cuando  tiende a , la sucesión  se aproxima a . Su expresión matemática es la siguiente:

$$\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=L$$ o simplemente escribimos $$x_{n}\rightarrow L$$

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite.

Observación:

El hecho de que siempre existan elementos cercanos a un valor no implica en general que la sucesión tenga un límite, para ésto es necesario que todos los valores se acerquen a dicho valor.

Ejemplo:

Encontrara el límite cuando  tiende a infinito, o indicar si no existe, para la sucesión 

Solución:

Evaluando algunos valores de , tenemos

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Observemos que conforme el valor de n es más grande, la sucesión se acerca a 1, pero nunca va a pasar del 1 debido a que la raíz de un número mayor que uno nunca da como resultado algo menor que uno, por lo tanto, podemos concluir que $$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{2n}=1$$