Tema 1. Teorema fundamental del cálculo.

Si $$f$$ es una función continua definida para $$a≤x≤b$$, dividimos el intervalo $$[a,b]$$ en $$n$$ sub-intervalos de igual ancho $$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$.

Sean $$x_0=a,x_1,x_2,…,x_n=b$$ los puntos extremos de estos sub-intervalos y sean $$x_1^∗, x_2^∗, x_3^∗,…, x_n^∗$$ los puntos muestra en estos sub-intervalos, de modo que $$x_i^∗$$ se encuentre en el $$i$$-ésimo sub-intervalo $$[x_{i-1}^∗, x_i^∗]$$.

Entonces la integral definida de $$f$$, desde $$a$$ hasta $$b$$, es

$$\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}f\left( x_{i}^{\ast }\right) \Delta x$$

Siempre que este límite exista y dé el mismo valor para todos los posibles elecciones de los puntos muestra.

Si existe, decimos que $$f$$ es integrable sobre $$[a,b]$$.